Question

19．已知函数f（x）=Asinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1（其中常数A＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值是-1，求A的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\frac{A}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1-$\frac{A}{4}$，由正弦函数的单调性进行求单调增减区间．
（Ⅱ）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，求得sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，由题意可得：-$\frac{A}{2}$+1-$\frac{A}{4}$=-1，即可解得A的值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=Asinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1
=Asinx（cosxcos$\frac{π}{6}$-sinxsin$\frac{π}{6}$）+1
=$\frac{A}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）+1-$\frac{A}{4}$
=$\frac{A}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1-$\frac{A}{4}$，
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函数f（x）的单调递增区间：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∵函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值是-1，可得：-$\frac{A}{2}$+1-$\frac{A}{4}$=-1，
∴解得：A=$\frac{8}{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用和正弦函数单调性的应用．对于三角函数的基本性质一定要熟练掌握，这是解题的关键．属于中档题．