Question

4．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，3sin²C+8sin²A=11sinA•sinC，且c＜2a．
（1）求证：△ABC为等腰三角形
（2）若△ABC的面积为8$\sqrt{15}$．且sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，求BC边上的中线长．

Answer 1

分析 （1）由已知式子和正弦定理可得3c²+8a²=11ac，分解因式结合题意可得c=a，可得△ABC为等腰三角形；
（2）由题意和三角形的面积公式可得a=c=8，由同角三角函数基本关系可得cosB，利用余弦定理可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中3sin²C+8sin²A=11sinA•sinC，
∴由正弦定理可得3c²+8a²=11ac，
分解因式可得（c-a）（3c-8a）=0
解得c=a或c=$\frac{8a}{3}$，由c＜2a可得c=a，
故△ABC为等腰三角形；
（2）∵△ABC的面积为8$\sqrt{15}$，且sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴8$\sqrt{15}$=$\frac{1}{2}$a²•$\frac{\sqrt{15}}{4}$，解得a=c=8，
由同角三角函数基本关系可得cosB=±$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=±$\frac{1}{4}$
设BC边上的中线长为x，当cosB=$\frac{1}{4}$时，
由余弦定理可得x²=8²+4²-2×4×8×cosB=64，x=8；
当cosB=-$\frac{1}{4}$时，同理可得x²=8²+4²-2×4×8×cosB=96，x=4$\sqrt{6}$

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，属中档题．