Question

已知函数f（x）的定义域为R，若f（0）=0，且任意的x∈R都有：f（

x

3

）=

1

2

f（x）和f（1-x）=1-f（x）成立，则f（

1

3

）+f（

1

6

）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：可以先将x=0代入f（1-x）=1-f（x），可得f（1）=1，再将x=1代入f（

x

3

）=

1

2

f（x）可得f（

1

3

）=

1

2

；再令x=

1

2

，代入f（1-x）=1-f（x），可得f（

1

2

）=

1

2

，
再将x=

1

2

代入f（

x

3

）=

1

2

f（x）可得f（

1

6

）=

1

4

．结论可求．

解答： 解：分别将x=0和x=

1

2

代入f（1-x）=1-f（x）得
f（1）=1，f（

1

2

）=

1

2

，
再将x=1和x=

1

2

分别代入f（

x

3

）=

1

2

f（x）得
f（

1

3

）=

1

2

，f（

1

6

）=

1

4

，
∴f（

1

3

）+f（

1

6

）=

3

4

．
故答案为

3

4

点评：这种类型的抽象函数问题一般采用赋值法，要注意取值时把所求的结论和已知条件有机结合起来，本题难度不大．