Question

11．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin xcos x+cos²x+a；则f（x）的最小正周期为π，若f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值与最小值的和为$\frac{3}{2}$，则实数a的值为0．

Answer 1

分析 利用两角和与差的正弦函数可求得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+a，从而可求f（x）的最小正周期；由-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}$⇒-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$⇒-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，从而可求f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域为[a，a+$\frac{3}{2}$]，继而依题意可求a的值．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sin xcos x+cos²x+a=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+a，
∴其最小正周期T=π；
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴a≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+a≤$\frac{3}{2}$+a，即f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域为[a，a+$\frac{3}{2}$]，
又f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值与最小值的和为$\frac{3}{2}$，
∴a+a+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
解得a=0．
故答案是：π；0．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的单调性、周期性与闭区间上的最值，属于中档题．