Question

将圆x²+y²=4上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C；将直线3x﹣2y﹣8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l．

（I）求直线l与曲线C的方程；

（II）求C上的点到直线l的最大距离．

Answer 1

 (Ⅰ）设曲线C上任一点为（x，y），则（x，2y）在圆x²+y²=4上，

于是x²+（2y）²=4，即．

直线3x﹣2y﹣8=0的极坐标方程为3ρcosθ﹣2ρsinθ﹣8=0，将其记作l₀，

设直线l上任一点为（ρ，θ），则点（ρ，θ﹣90°）在l₀上，

于是3ρcos（θ﹣90°）﹣2ρsin（θ﹣90°）﹣8=0，即：3ρsinθ+2ρcosθ﹣8=0，

故直线l的方程为2x+3y﹣8=0；

（Ⅱ）设曲线C上任一点为M（2cosψ，sinψ），

它到直线l的距离为d==，

其中ψ₀满足：cosψ₀=，sinψ₀=．