Question

【题目】已知抛物线焦点为，过点与轴垂直的直线交抛物线的弦长为2.

（1）求抛物线的方程；

（2）点和点为两定点，点和点为抛物线上的两动点，线段的中点在直线上，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

由题意知,将代入抛物线方程解得弦长,进而求出即可;

由（1）知抛物线的方程为：，设，直线的斜率为，线段的中点为，由题意可设,利用点差法可得，把直线的方程与抛物线方程联立得到关于的一元二次方程,利用判别式求出的取值范围,利用韦达定理和弦长公式求出,利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离即可求出面积的表达式,,把表示为关于的函数,通过求导判断单调性求最大值即可.

（1）由题得抛物线的焦点为，

在方程中,令得，

所以弦长为，即，解得，

所以抛物线的方程为：.

（2）由（1）知抛物线的方程为：，

设，直线的斜率为，

因为线段的中点在直线上，

由可知直线的方程为：，

所以可设，

所以，

又，，

所以，即得,

所以可设直线的方程为.

所以，

所以判别式，

由韦达定理可得,，，

，

而点到直线的距离为，

所以

，

记，因为，所以，

所以，，

所以，令,则，

当时,；当时，；

所以当时，有最大值为.