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    【题目】已知动圆M过点且与直线相切.

    （1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；

    （2）斜率为的直线l经过点且与曲线C交于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点N，求的值.

    【答案】（1）（2）

    【解析】

    （1）已知条件转化成圆心M到定点的距离与定直线的距离相等，再利用抛物线的定义求得圆心M的轨迹C的方程；

    （2）设直线l的方程为，，，把直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，得到的中点坐标，进而得到线段的中垂线方程，令得到点的坐标，把弦长和线段都用表示，再进行比值即可得答案.

    （1）由已知可得，点M到点的距离等于点M到直线的距离，所以点M的轨迹是抛物线.

    点P为抛物线的焦点，直线即为抛物线的准线.

    设抛物线C的方程为，所以，所以，

    故动圆圆心M的轨迹C的方程为.

    （2）由已知可得直线l的方程为，记，.

    由消去y整理可得.

    由根与系数关系可得，所以.

    所以AB的中点坐标为.

    所以线段AB的中垂线方程为.

    令，可得，所以.

    所以.

    又由抛物线的定义可知.

    所以.

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    “我身边的榜样”评选选票

    候选人

    符号

    注：

    1．同意画“○”，不同意画“×”．

    2．每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票．

    甲

    乙

    丙

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    （1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可）

    （2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由）

    （3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．

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    【题目】为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.

    （1）求的值；

    （2）填写下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？

    文科生

    理科生

    合计

    获奖

    6

    不获奖

    合计

    400

    （3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为，求的分布列及数学期望.

    附：，其中.

    .15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB=PA＝4，E是PA的中点，AC，BD交于点O.

    （1）求证：OE∥平面PBC；

    （2）求三棱锥E﹣PBD的体积.

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    【题目】在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类.经过数据整理，得到下表：

    卫生习惯状况类

    垃圾处理状况类

    体育锻炼状况类

    心理健康状况类

    膳食合理状况类

    作息规律状况类

    有效答卷份数

    380

    550

    330

    410

    400

    430

    习惯良好频率

    0.6

    0.9

    0.8

    0.7

    0.65

    0.6

    假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.

    （1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；

    （2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；

    （3）利用上述六类习惯调查的排序，用“”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者（）.写出方差，，，，，的大小关系.

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    【题目】某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：

    组别

    男

    2

    3

    5

    15

    18

    12

    女

    0

    5

    10

    10

    7

    13

    (1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？

    (2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．视频率为概率．

    ①在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率；

    ②为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动．每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：

    红包金额（单位：元）

    10

    20

    概率

    现某市民要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求的分布列及数学期望．

    附表及公式：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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