【题目】对于非负整数集合(非空),若对任意
,或者
,或者
,则称
为一个好集合.以下记
为
的元素个数.
(1)给出所有的元素均小于的好集合.(给出结论即可)
(2)求出所有满足的好集合.(同时说明理由)
(3)若好集合满足
,求证:
中存在元素
,使得
中所有元素均为
的整数倍.
【答案】(1),
,
,
.(2)
;证明见解析.(3)证明见解析.
【解析】
(1)根据好集合的定义列举即可得到结果;
(2)设,其中
,由
知
;由
可知
或
,分别讨论两种情况可的结果;
(3)记,则
,设
,由归纳推理可求得
,从而得到
,从而得到
,可知存在元素
满足题意.
(1),
,
,
.
(2)设,其中
,
则由题意:,故
,即
,
考虑,可知:
,
或
,
若,则考虑
,
,
,则
,
,但此时
,
,不满足题意;
若,此时
,满足题意,
,其中
为相异正整数.
(3)记,则
,
首先,,设
,其中
,
分别考虑和其他任一元素
,由题意可得:
也在
中,
而,
,
,
对于,考虑
,
,其和大于
,故其差
,
特别的,,
,
由,且
,
,
以此类推:,
,此时
,
故中存在元素
,使得
中所有元素均为
的整数倍.
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【题目】在极坐标系中,曲线的极坐标方程为
.以极点为原点,极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线
的参数方程为
(
为参数).
(1)若,求曲线
的直角坐标方程以及直线
的极坐标方程;
(2)设点,曲线
与直线
交于两点,求
的最小值.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)写出曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
相交于
、
两点,求
的面积.
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【题目】一个袋子中有红、黄、蓝、绿四个小球,有放回地从中任取一个小球,将“三次抽取后,红色小球,黄色小球都取到”记为事件M,用随机模拟的方法估计事件M发生的概率.利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表红、黄、蓝、绿四个小球,以每三个随机数为一组,表示取小球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
110 | 321 | 230 | 023 | 123 | 021 | 132 | 220 | 001 |
231 | 130 | 133 | 231 | 031 | 320 | 122 | 103 | 233 |
由此可以估计事件M发生的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】某校要从甲、乙两名同学中选择一人参加该市组织的数学竞赛,已知甲、乙两名同学最近7次模拟竞赛的数学成绩(满分100分)如下:
甲:79,81,83,84,85,90,93;
乙:75,78,82,84,90,92,94.
(1)完成答题卡中的茎叶图;
(2)分别计算甲、乙两名同学最近7次模拟竞赛成绩的平均数与方差,并由此判断该校应选择哪位同学参加该市组织的数学竞赛.
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【题目】已知动圆M过点且与直线
相切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;
(2)斜率为的直线l经过点
且与曲线C交于A,B两点,线段AB的中垂线交x轴于点N,求
的值.
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【题目】已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于
,抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合,则抛物线
上的动点
到直线
和
距离之和的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1) 证明:PB∥平面AEC
(2) 设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积
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【题目】如图,在棱长为的正方形
中,
、
分别为
,
边上的中点,现将点
以
为轴旋转至点
的位置,使得
为直二面角.
(1)证明:;
(2)求异面直线与
所成角的余弦值.
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