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一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a1a2a3a4a5,其中A的各位数字中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为
1
3
,出现1的概率为
2
3
.记ξ=a1+a2+a3+a4+a5(例如:A=10101,即表示a1=a3=a5=1,a2=a4=0,而ξ=3),当仪器启动一次时,
(1)求ξ=3的概率;
(2)求ξ的概率分布列;
(3)若启动一次出现的数字为A=10101则称这次试验成功,求5次重复试验成功的次数的期望.
分析:(1)此题需要进行转化,不能直接套公式,由a1=1,可知有一次的试验结果已经确定;当ξ=3时的概率,相当于在后面的4个数中出现2个1,计算可得答案;
(2)分析ξ的取值情况,结合变量对应的事件和独立重复试验的概率公式,做出变量对应的概率,并列出ξ值的分布列,
(3)由题意知变量符合二项分布,根据成功概率和实验的次数,用二项分布的期望公式得到结果.
解答:解:(1)由题意知数字出现的次数符合独立重复试验,
当ξ=3时的概率,相当于在后面的4个数中出现2个1,
p(ξ=3)=
C
2
4
(
2
3
)2•(
1
3
)2=
24
81

(2)ξ的可能取值为1,2,3,4,5,
p(ξ=1)=(
1
3
)4=
1
81
     p(ξ=2)=
C
1
4
(
1
3
)3•(
2
3
)=
8
81
     p(ξ=3)=
C
2
4
(
2
3
)2•(
1
3
)2=
24
81
p(ξ=4)=
C
3
4
(
2
3
)3•(
1
3
)=
32
81
       p(ξ=5)=(
2
3
)4=
16
81

∴ξ的分布列为:
ξ 1 2 3 4 5
p
1
81
8
81
24
81
32
81
16
81
(3)启动一次出现数字为A=|0|0|的概率P=(
1
3
)2(
2
3
)2=
4
81

由题意知变量符合二项分布,
根据成功概率和实验的次数的值,
η~B(5,
4
81
)

∴η的数学期望为Eη=
20
81
点评:本题考查的知识点是n次独立重复试验中恰好发生k次的概率,由a1=1,将ξ=n,转化为后面的4个数中出现n-1个1是解答本题的关键.
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一台仪器每启动一次都随机地出现一个10位的二进制数A=a1a2a3…a10,其中A的各位数字中,a1=1,ak(k=2,3,…,10)出现0的概率为
1
3
,出现1的概率为
2
3
,例如:A=1001110001,其中a2=a3=a7=a8=a9=0,a4=a5=a6=a10=1,记S=a1+a2+a3+…+a10,当启动仪器一次时.则S=5,且有且仅有4个0连排在一起时的概率为
 

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,ak(k=2,3,4,5)出现1的概率为
2
3
,记ξ=a1+a2+a3+a4+a5(例如:A=10001,其中a1=a5=1,a2=a3=a4=0,且ξ=2).当启动仪器一次时,
(I)求ξ=3的概率;
(Ⅱ)求当ξ为何值时,其概率最大.

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1
3
,出现1的概率为
2
3
.(例如:A=10001,其中a1=a5=1.a2=a3=a4=0.)记ξ=a1+a2+a3+a4+a5,当启动仪器一次时,
(Ⅰ)求ξ=3的概率;         
(Ⅱ)求ξ的概率分布列及Eξ.

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1
3
,出现1的概率为
2
3
.例如:A=10001,其中a1=a5=1,a2=a3=a4=0.记ξ=a1+a2+a3+a4+a5,当启动仪器一次时     
(Ⅰ)求ξ=3的概率;      
(Ⅱ)求ξ的概率分布列及Eξ

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