Question

一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数，其中A的各位数字中，a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出现0的概率为

1

3

，出现1的概率为

2

3

．（例如：A=10001，其中a₁=a₅=1．a₂=a₃=a₄=0．）记ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，当启动仪器一次时，
（Ⅰ）求ξ=3的概率；         
（Ⅱ）求ξ的概率分布列及Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得：P（ξ=3）=C

2 4

•（

1

3

）²•（

2

3

）²，由此能求出ξ=3的概率．
（Ⅱ）由题设知，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）由题意得：P（ξ=3）=C

2 4

•（

1

3

）²•（

2

3

）²=

8

27

．
（Ⅱ）由题设知，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，
故ξ的概率分布列为：

ξ	1	2	3	4	5
P	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

∴Eξ=1×

1

81

+2×

8

81

+3×

24

81

+4×

32

81

+5×

16

81

=

11

3

…（13分）

点评：本题考查离散型随机变量的概率分布列和数学期望，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．