Question

一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数，其中A的各位数字中，a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出现0的概率为

1

3

，a_k（k=2，3，4，5）出现1的概率为

2

3

，记ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅（例如：A=10001，其中a₁=a₅=1，a₂=a₃=a₄=0，且ξ=2）．当启动仪器一次时，
（I）求ξ=3的概率；
（Ⅱ）求当ξ为何值时，其概率最大．

Answer 1

分析：此题需要进行转化，不能直接套公式，由a₁=1，可知有一次的试验结果已经确定；
（1）当ξ=3时的概率，相当于在后面的4个数中出现2个1，计算可得答案；
（2）分析ξ的取值情况，并列出ξ值的分布列，根据分布列易得到结论．

解答：解：（1）∵ξ=3，a₁=1，
∴相当于后面4个数中出现2个1，
故P（ξ=3）=

C

2 4

•(

1

3

)2•(

2

3

)2=

8

27

（2）ξ的可能取值为1，2，3，4，5
∴ξ的分布列为：
P（ξ=1）=

C

0 4

•(

1

3

)4=

1

81

P（ξ=2）=

C

1 4

•(

1

3

)3•(

2

3

)1=

8

81

P（ξ=3）=

C

2 4

•(

1

3

)2•(

2

3

)2=

8

27

P（ξ=4）=

C

3 4

•(

1

3

)1•(

2

3

)3=

32

81

P（ξ=5）=

C

4 4

•(

2

3

)4=

16

81

故当ξ=4时，其值最大，最大值为

32

81

点评：本题考查的知识点是，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，由a₁=1，将ξ=n，转化为后面的4个数中出现n-1个1是解答本题的关键．