Question

在平面直角坐标系中，已知向量

a

=（-1，2），又点A（8，0），B（-8，t），C（8sinθ，t）．
（I）若

AB

⊥

a

求向量

OB

的坐标；
（Ⅱ）若向量

AC

与向量

a

共线，当tsinθ取最大值时，求

OA

•

OC

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题目给出的点的坐标写出用到的向量的坐标，然后直接利用向量垂直的坐标表示列式计算；
（Ⅱ）求出向量

AC

的坐标，由向量

AC

与向量

a

共线列式得到t与sinθ的关系，两边同时乘以sinθ后配方计算tsinθ取最大值，并求出此时的

OC

=(4，8)，代入数量及公式即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由A（8，0），B（-8，t），
所以

AB

=(-16，t)，

a

=（-1，2），又

AB

⊥

a

，所以16+2t=0，t=-8．
故

OB

=(-8，-8)．
（Ⅱ）由A（8，0），C（8sinθ，t），所以

AC

=(8sinθ-8，t)，

a

=（-1，2），
又向量

AC

与向量

a

共线，所以

8sinθ-8

-1

=

t

2

，t=16-16sinθ，
tsinθ=16sinθ-16sin2θ=-16(sinθ-

1

2

)2+4．
故当sinθ=

1

2

时，tsinθ取最大值，此时

OC

=(4，8)．
所以，

OA

•

OC

=(8，0)•(4，8)=32．

点评：本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了两个向量共线的坐标表示，训练了配方法求函数的最值，是中档题．