Question

（2006•崇文区一模）已知f（x）=ax³+x²+cx是定义在R上的函数，f（x）在[-1，0]和[4，5]上是减函数，在[0，2]上是增函数．
（I）求c的值；
（II）求a的取值范围；
（III）在函数f（x）的图象上是否存在一点M（x₀，y₀），使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），由f（x）在[-1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数知x=0为函数的一个极值点，由此列方程f′（0）=0即可解得c的值
（II）将函数f（x）的单调性，转化为函数f′（x）的零点分布问题，f（x）在[0，2]上是增函数，在[4，5]上是减函数，说明f′（x）的正零点在[2，4]内，解不等式即可
（III）假设存在点M（x₀，y₀）使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3，则f′（x₀）=3有解，而根据（II）问的计算，此方程的判别式小于零，故而无解，故此点不存在

解答：解：（I）对函数f（x）=ax³+x²+cx求导数，得，f′（x）=3ax²+2x+c
∵f（x）在[-1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数
∴函数f（x）在x=0处有极小值，
∴f′（0）=0，即3a×0²+2×0+c=0
∴c=0
（II）∵f（x）=ax³+x²，∴f′（x）=3ax²+2x
令f′（x）=0，解得x1=0，x2=-

2

3a

∵f（x）在[0，2]上是增函数，在[4，5]上是减函数
即f′（x）在[0，2]上大于或等于零，在[4，5]上小于或等于零
∴x₂∈[2，4]
即

- 2 3a ≥2 - 2 3a ≤4

∴-6≤

1

a

≤-3
∴-

1

3

≤a≤-

1

6

（III）假设存在点M（x₀，y₀）使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3，
则f′（x₀）=3，即3ax₀²+2x₀-3=0，其中△=4+36a
∵-

1

3

≤a≤-

1

6

∴-12≤36a≤-6
∴△＜0∴3ax₀²+2x₀-3=0无实数根
∴f′（x₀）=3不成立
∴不存在点M（x₀，y₀）使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3．

点评：本题考查了导数在函数单调性和极值中的应用，函数与其导函数的图象性质间的关系，导数的几何意义等知识