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(12分)(2011•福建)如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.
(Ⅰ)求实数b的值;
(Ⅱ)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

(Ⅰ)b=﹣1(Ⅱ)(x﹣2)2+(y﹣1)2=4

解析试题分析:(I)由,得:x2﹣4x﹣4b=0,由直线l与抛物线C相切,知△=(﹣4)2﹣4×(﹣4b)=0,由此能求出实数b的值.
(II)由b=﹣1,得x2﹣4x+4=0,解得x=2,代入抛物线方程x2=4y,得点A的坐标为(2,1),因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离,由此能求出圆A的方程.
解:(I)由,消去y得:x2﹣4x﹣4b=0①,
因为直线l与抛物线C相切,
所以△=(﹣4)2﹣4×(﹣4b)=0,
解得b=﹣1;
(II)由(I)可知b=﹣1,
把b=﹣1代入①得:x2﹣4x+4=0,
解得x=2,代入抛物线方程x2=4y,得y=1,
故点A的坐标为(2,1),
因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离,
即r=|1﹣(﹣1)|=2,
所以圆A的方程为:(x﹣2)2+(y﹣1)2=4.
点评:本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆过点,且离心率为.斜率为的直线与椭圆交于两点,以为底边作等腰三角形,顶点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的面积.

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已知椭圆的离心率为为椭圆在轴正半轴上的焦点,两点在椭圆上,且,定点.
(1)求证:当
(2)若当时有,求椭圆的方程;
(3)在(2)的椭圆中,当两点在椭圆上运动时,试判断 是否有最大值,若存在,求出最大值,并求出这时两点所在直线方程,若不存在,给出理由.

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已知椭圆经过点,其离心率
(1)求椭圆的方程;
(2)过坐标原点作不与坐标轴重合的直线交椭圆两点,过轴的垂线,垂足为,连接并延长交椭圆于点,试判断随着的转动,直线的斜率的乘积是否为定值?说明理由.

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如图,椭圆上的点M与椭圆右焦点的连线与x轴垂直,且OM(O是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行.
(1)求椭圆的离心率;
(2)过且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q,若的面积是20,求此时椭圆的方程.

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(12分)(2011•重庆)如图,椭圆的中心为原点0,离心率e=,一条准线的方程是x=2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设动点P满足:=+2,其中M、N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为﹣
问:是否存在定点F,使得|PF|与点P到直线l:x=2的距离之比为定值;若存在,求F的坐标,若不存在,说明理由.

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(本题满分13分)如图,分别过椭圆左右焦点的动直线相交于点,与椭圆分别交于不同四点,直线的斜率满足.已知当轴重合时,
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在定点,使得为定值.若存在,求出点坐标并求出此定值,若不存在,说明理由.

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已知椭圆的左右焦点分别为,点为短轴的一个端点,.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,过右焦点,且斜率为的直线与椭圆相交于两点,为椭圆的右顶点,直线分别交直线于点,线段的中点为,记直线的斜率为.
求证: 为定值.

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如图所示,已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=,斜率为2的直线l过点A(2,3).

(1)求椭圆E的方程;
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