Question

已知椭圆过点，且离心率为.斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积．

Answer 1

(1) ; (2)

解析试题分析：(1)根据题意可列方程组，进而可求解的值.
(2) 设直线l的方程为.联立直线与椭圆的方程可得：，①    
利用，因此要先确定直线AB的方程和点P到直线AB的距离．设A、B的坐标分别为AB中点为E，则．
因为AB是等腰△的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率，解得m=2． 
此时方程①为，解得，所以，所以|AB|=． 此时，点P（－3，2）到直线AB：的距离，所以S=.
（1）由已知得．         （ 2分）
解得.又，所以椭圆G的方程为．   （4分)
（2）设直线l的方程为.
由得． ①             6分
设A、B的坐标分别为AB中点为E，
则． （ 8分），
因为AB是等腰△的底边，
所以PE⊥AB.所以PE的斜率，解得m=2．     （ 10分）
此时方程①为，解得，所以，所以|AB|=． 此时，点P（－3，2）到直线AB：的距离， 所以△的面积S=．     （12分）
考点：椭圆方程、性质；直线与椭圆的位置关系，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，三角形面积公式.