Question

已知椭圆：的短轴长为，且斜率为的直线过椭圆的焦点及点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线过椭圆的左焦点，交椭圆于点P、Q.
（ⅰ）若满足（为坐标原点），求的面积；
（ⅱ）若直线与两坐标轴都不垂直，点在轴上，且使为的一条角平分线，则称点为椭圆的“特征点”，求椭圆的特征点．

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）2，（ⅱ）

解析试题分析：（1）由短轴长得，由焦点和点可算出斜率为，可以得到焦点坐标，所以可以得椭圆的方程。（2）（ⅰ）由向量的数量积公式及三角形面积公式可得出结果。（ⅱ）设直线的方程，但是不需要求的方程，通过与椭圆联立方程组进行求解。
试题解析：（1）由题意可知，直线的方程为，         1分
∵直线过椭圆的焦点，∴该焦点坐标为∴    2分
又椭圆的短轴长为，∴，∴   3分
∴椭圆的方程为   4分
（2）（ⅰ）∵
∴   6分
∴    8分
（ⅱ）设特征点，左焦点为，可设直线PQ的方程为，
由消去得
设，则
     10分
∵为的一条角平分线，
∴，即          12分
又，，代入上式可得

∴，解得
∴椭圆C的特征点为．                     14分
考点：圆锥曲线与其他知识的综合