如图,F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点,直线l:x=4是椭圆C的右准线,F到直线l的距离等于3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P是椭圆C上动点,PM⊥l,垂足为M.是否存在点P,使得△FPM为等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1);(2)P(,±).
解析试题分析:(1)求椭圆标准方程,一般利用待定系数法,利用两个独立条件确定a,b的值. 设椭圆C的方程为,由已知,得,∴∴b=.所以椭圆C的方程为.(2)等腰三角形这个条件,是不确定的,首先需要确定腰. 由=e=,得PF=PM.∴PF≠PM.若PF=FM,则PF+FM=PM,与“三角形两边之和大于第三边”矛盾,∴PF不可能与FM相等.因此只有FM=PM,然后结合点在椭圆上条件进行列方程求解:设P(x,y)(x≠±2),则M(4,y).∴=4-x,
∴9+y2=16-8x+x2,又由,得y2=3-x2.∴9+3-x2=16-8x+x2,∴x2-8x+4=0.∴7x2-32x+16=0.∴x=或x=4.∵x∈(-2,2),∴x=.∴P(,±).综上,存在点P(,±),使得△PFM为等腰三角形.
试题解析:解:(1)设椭圆C的方程为
由已知,得,∴,∴b=.所以椭圆C的方程为
(2)由=e=,得PF=PM.∴PF≠PM.
①若PF=FM,则PF+FM=PM,与“三角形两边之和大于第三边”矛盾,
∴PF不可能与FM 相等.
②若FM=PM,设P(x,y)(x≠±2),则M(4,y).∴=4-x,
∴9+y2=16-8x+x2,又由,得y2=3-x2.∴9+3-x2=16-8x+x2,
∴x2-8x+4=0.∴7x2-32x+16=0.∴x=或x=4.∵x∈(-2,2),∴x=.
∴P(,±).综上,存在点P(,±),使得△PFM为等腰三角形.
考点:椭圆方程,椭圆第二定义
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆C:的离心率,右焦点到直线1的距离,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A、B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=2,E,F,M,N分别是矩形四条边的中点,G,H分别是线段ON,CN的中点.
(1)证明:直线EG与FH的交点L在椭圆W:上;
(2)设直线l:与椭圆W:有两个不同的交点P,Q,直线l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T,求的最大值及取得最大值时m的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:的短轴长为,且斜率为的直线过椭圆的焦点及点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线过椭圆的左焦点,交椭圆于点P、Q.
(ⅰ)若满足(为坐标原点),求的面积;
(ⅱ)若直线与两坐标轴都不垂直,点在轴上,且使为的一条角平分线,则称点为椭圆的“特征点”,求椭圆的特征点.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(,m),A点到抛物线焦点的距离为1.
(1)求该抛物线的方程;
(2)设M(x0,y0)为抛物线上的一个定点,过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP,MQ,求证:PQ恒过定点(x0+2,-y0).
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2,点P是C1与C2的一个公共点,是一个以PF1为底的等腰三角形,C1的离心率为则C2的离心率
为 。
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