(本小题满分12分)
已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.
(1)求曲线的方程;
(2)曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点,以为直径作圆,过点作圆的切线,切点为,试探究:当点在曲线上运动(点与原点不重合)时,线段的长度是否发生变化?证明你的结论.
(1).(2)当点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变,证明见解析.
解析试题分析:(1)思路一:设为曲线上任意一点,
依题意可知曲线是以点为焦点,直线为准线的抛物线,
得到曲线的方程为.
思路二:设为曲线上任意一点,
由,化简即得.
(2)当点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变,证明如下:
由(1)知抛物线的方程为,
设,得,
应用导数的几何意义,确定切线的斜率,进一步得切线的方程为.
由,得.
由,得.
根据,得圆心,半径,
由弦长,半径及圆心到直线的距离之关系,确定.
试题解析:解法一:(1)设为曲线上任意一点,
依题意,点S到的距离与它到直线的距离相等,
所以曲线是以点为焦点,直线为准线的抛物线,
所以曲线的方程为.
(2)当点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变,证明如下:
由(1)知抛物线的方程为,
设,则,
由,得切线的斜率
,
所以切线的方程为,即.
由,得.
由,得.
又,所以圆心,
半径,
.
所以点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变.
解法二:
(1)设为曲线上任意一点,
则,
依题意,点只能在直线的上方,所以,
所以,
化简得,曲线的方程为.
(2)同解法一.
考点:抛物线的定义,导数的几何意义,直线方程,直线与抛物线的位置关系,直线与圆的位置关系.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
椭圆的离心率为,其左焦点到点的距离为.
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
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椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,两焦点F1,F2之间的距离为2,椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2,且△PF1F2的面积为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若椭圆C的右顶点为A,直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,且满足AM⊥AN.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.
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已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A,B两点.
①若线段AB中点的横坐标为-,求斜率k的值;
②已知点M(-,0),求证:·为定值.
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已知椭圆C:()的左焦点为,离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设O为坐标原点,T为直线上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.
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已知椭圆的离心率为,为椭圆在轴正半轴上的焦点,、两点在椭圆上,且,定点.
(1)求证:当时;
(2)若当时有,求椭圆的方程;
(3)在(2)的椭圆中,当、两点在椭圆上运动时,试判断 是否有最大值,若存在,求出最大值,并求出这时、两点所在直线方程,若不存在,给出理由.
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(本题满分13分)如图,分别过椭圆:左右焦点、的动直线相交于点,与椭圆分别交于不同四点,直线的斜率、、、满足.已知当轴重合时,,.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在定点,使得为定值.若存在,求出点坐标并求出此定值,若不存在,说明理由.
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