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在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.

(1)+y2=1; (2)y=x+或y=-x-.

解析试题分析:(1)由于椭圆的方程是标准方程,知其中心在坐标原点,对称轴就是两坐标轴,所以由已知可直接得到半焦距c及短半轴b的值,然后由 求得的值,进而就可写出椭圆的方程;(2)由已知得,直线l的斜率显然存在且不等于0,故可设直线l的方程为y=kx+m,然后联立直线方程与椭圆C1的方程,消去y得到关于x的一个一元二次方程,由直线l同时与椭圆C1相切知,其判别式等于零得到一个关于k,m的方程;再联立直线l与抛物线C2的方程,消去y得到关于x的一个一元二次方程,由直线l同时与抛物线C2相切知,其判别式又等于零,再得到一个关于k,m的方程;和前一个方程联立就可求出k,m的值,从而求得直线l的方程.
试题解析:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),
所以c=1.将点P(0,1)代入椭圆方程=1,
=1,即b=1. 所以a2=b2+c2=2.
所以椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0,设直线l的方程为y=kx+m,由消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
因为直线l与椭圆C1相切,
所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0.
整理,得2k2-m2+1=0,                                   ①
消y,得
k2x2+(2km-4)x+m2=0.
∵直线l与抛物线C2相切,
∴Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理,得km=1,                    ②
联立①、②,得
∴l的方程为y=x+或y=-x-.
考点:1.椭圆的方程;2.直线与圆锥曲线的位置关系.

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