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(12分)(2011•重庆)如图,椭圆的中心为原点0,离心率e=,一条准线的方程是x=2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设动点P满足:=+2,其中M、N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为﹣
问:是否存在定点F,使得|PF|与点P到直线l:x=2的距离之比为定值;若存在,求F的坐标,若不存在,说明理由.

(Ⅰ)+=1(Ⅱ)见解析

解析试题分析:(Ⅰ) 由题意得 ===2,解出a、b 的值,即得椭圆的标准方程.
(Ⅱ)设动点P(x,y),M(x1,y1)、N(x2,y2). 由向量间的关系得到 x=x1+2x2,y=y1+2y2,据
M、N是椭圆上的点可得 x2+2y2=20+4(x1x2+2y1y2).再根据直线OM与ON的斜率之积为﹣,得到点P是椭圆
x2+2y2="20" 上的点,根据椭圆的第二定义,存在点F(,0),满足条件.
解:(Ⅰ) 由题意得 ===2,∴a=2,b=
故椭圆的标准方程为 +=1.
(Ⅱ)设动点P(x,y),M(x1,y1)、N(x2,y2).∵动点P满足:=+2
∴(x,y)=(x1+2x2,y1+2y2 ),∴x=x1+2x2,y=y1+2y2
∵M、N是椭圆上的点,∴x12+2y12﹣4=0,x22+2y22﹣4=0.
∴x2+2y2=(x1+2x22+2 (y1+2y22=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+2y1y2
=4+4×4+4(x1x2+2y1y2)=20+4(x1x2+2y1y2).
∵直线OM与ON的斜率之积为﹣,∴=﹣,∴x2+2y2=20,
故点P是椭圆 ="1" 上的点,焦点F(,0),准线l:x=2,离心率为
根据椭圆的第二定义,|PF|与点P到直线l:x=2的距离之比为定值
故存在点F(,0),满足|PF|与点P到直线l:x=2的距离之比为定值.
点评:本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程,两个向量坐标形式的运算,以及椭圆的第二定义,属于中档题.

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