【题目】如图，在三棱台
中，底面
是边长为
的正三角形，
，
，
是棱
的中点，点
在棱
上，且
．
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
和平面
所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）取BC上一点G，满足CG＝3GB，连接
，FG，推导出四边形
为平行四边形，从而EF
，由此能证明EF平面
.
（2）延长
交于一点P，取AC的中点为O，连接PO，OB，则PO⊥AC，BO⊥AC，过O作OD⊥平面ABC，如图，以OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF和平面ABC所成角的正弦值.
解：（1）取
上一点
，满足
，连，
，
在
中，由
∴
，
又
，
∴
，
∴四边形为平行四边形
∴
又
平面，
平面
∴
平面.
（2）延长
，
，
交于一点
，且
为边长为
的正三角形，
取
的中点为
，连接
，
，则
，
，
且
，
，
，
，
过作
平面
，如图，以
为
轴，为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
∴
面的一个法向量为
，
设
与平面所成的角为
，
∴
，
∴直线和平面所成角的正弦值为.
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【题目】给出下列四个说法，其中正确的是（ ）
A.命题“若
，则
”的否命题是“若，则
”
B.“
”是“双曲线
的离心率大于
”的充要条件
C.命题“
，
”的否定是“，
”
D.命题“在
中，若
，则是锐角三角形”的逆否命题是假命题
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【题目】已知
的定义域为
，
，使得不等式
成立，关于
的不等式
的解集记为
.
（1）若
为真，求实数
的取值集合
；
（2）在（1）的条件下，若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
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【题目】“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差
D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
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【题目】从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：
（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）
（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？
（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数）
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【题目】已知椭圆
的离心率为
，其左，右焦点分别为
，
，点P是坐标平面内一点，且
，
，其中O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点
，且斜率为
的动直线l交椭圆于A，B两点，求弦AB的垂直平分线在
轴上截距的最大值.
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【题目】将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，...，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽到的号码为005，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到365在第二考点，从366到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为( )
A. 15B. 16C. 17D. 18
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