【题目】已知椭圆的离心率为
,其左,右焦点分别为
,
,点P是坐标平面内一点,且
,
,其中O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点,且斜率为
的动直线l交椭圆于A,B两点,求弦AB的垂直平分线在
轴上截距的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)设,根据题意列出对应等式,解方程后即可求得a和b的值,得到椭圆方程;
(2)设出直线l的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理求出中点坐标公式,当直线的斜率存在时,利用直线的点斜式方程,求得AB的垂直平分线方程,令y=0,求得x,再利用基本不等式即可得解.
(1)由题知,
,
设,又
,
,
,
,从而
,
,
故椭圆C的方程为;
(2)设直线l的方程为,
,
,
联立方程:,消去y得:
,
显然,
又,
,
,
则AB的中点坐标为,
当AB的斜率k为零时,AB的垂直平分线为y轴,横截距为0;
当时,AB垂直平分线的方程为:
,
令,
当时,
,
当时,
,那么
,
当且仅当,即
时等号成立,
所以当时,弦AB的垂直平分线在x轴上的截距有最大值,为
.
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【题目】如图,几何体AMDCNB是由两个完全相同的四棱锥构成的几何体,这两个四棱锥的底面ABCD为正方形,,平面
平面ABCD.
(1)证明:平面平面MDC.
(2)若,求二面角
的余弦值.
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【题目】“搜索指数”是网民通过搜索引擎,以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大,表示网民对该关键词的搜索次数越多,对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中,某个关键词的搜索指数变化的走势图.
根据该走势图,下列结论正确的是( )
A. 这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B. 这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C. 从网民对该关键词的搜索指数来看,去年10月份的方差小于11月份的方差
D. 从网民对该关键词的搜索指数来看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
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【题目】某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本
,当年产量不足80千件时,
(万元);当年产量不小于80千件时,
(万元),每件售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量
(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
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【题目】在棱长均相等的正四棱锥中,
为底面正方形的重心,
分别为侧棱
的中点,有下列结论:
①平面
;②平面
平面
;③
;
④直线与直线
所成角的大小为
.
其中正确结论的序号是__________.(写出所有正确结论的序号)
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