Question

【题目】已知函数.

(Ⅰ)讨论函数的单调性；

(Ⅱ)证明：当时，函数有最大值.设的最大值为，求函数的值域.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案见解析.(Ⅱ)答案见解析.

【解析】

(Ⅰ)，令，然后根据判别式的符号讨论函数函数值的情况，进而得到的符号，于是可得函数的单调情况．

(Ⅱ)由题意得，结合（Ⅰ）得当时，在上单调递减，且，因此得到对任意，存在唯一的，使，且在单调递增，在单调递减，所以的最大值．设，则在单调递减，可得，进而可得所求值域．

(Ⅰ)由，

得．

令，

则，

（1）当时，，所以，，

所以在上单调递减．

（2）当或时，，

设的两根为且，则，

①若，可知，

则当时，单调递减；当时，单调递增．

②若，可知，

则当时，单调递减；

当时，单调递增．

综上可知：

当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减；

当时，在，上单调递减，在上单调递增．

(Ⅱ)由，

得

，

由(Ⅰ)可知当时，在上单调递减，且，

所以对任意，存在唯一的，使（反之对任意，

也存在唯一，使）.

且当时，，，在单调递增；

当时，，，在单调递减.

因此当时，取得最大值，且最大值

，

令，

则，

所以在单调递减，

所以，即，

所以的值域为．