Question

17．已知函数f（x）=2x，g（x）=x²+c（c∈R）．对任意的x∈R 都有f（x）≤g（x）成立．
（1）求c的取值范围：
（2）设h（x）=$\frac{g（x）}{f（x）}$，若h（x）在[2．+∞）上为增函数，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得x²-2x+c≥0恒成立，由判别式小于等于0，即可得到所求范围；
（2）由题意可得h′（x）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{c}{{x}^{2}}$）≥0在[2．+∞）上恒成立，运用参数分离，求得右边函数的最小值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）对任意的x∈R 都有f（x）≤g（x）成立，
即为x²-2x+c≥0恒成立，
即有判别式△=4-4c≤0，
解得c≥1；
（2）h（x）=$\frac{{x}^{2}+c}{2x}$=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{c}{x}$），
h′（x）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{c}{{x}^{2}}$），
由h（x）在[2．+∞）上为增函数，
可得$\frac{1}{2}$（1-$\frac{c}{{x}^{2}}$）≥0在[2．+∞）上恒成立，
即为c≤x²的最小值，
由y=x²在[2．+∞）上的最小值为4．
即有c≤4，又c≥1，
可得1≤c≤4．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用二次函数的性质和参数分离，考查运算能力，属于中档题．