Question

已知函数f(x)=log₃,是否存在实数a、b、c，使f(x)同时满足下列三个条件：（1）定义域为R的奇函数；（2）在［1，+∞）上是增函数；（3）最大值是1.若存在，求出a、b、c；若不存在，说明理由.

Answer 1

分析：本题是存在性的问题.解决的办法是：首先假设三个参数a、b、c存在，然后用三个已知条件逐一确定a、b、c的值.

解： f(x)是奇函数f(0)=0log₃b=0,

∴b=1.

又∵f(-x)=-f(x),

即log₃=-log₃,

∴=(x²+1)²-a²x²=(x²+1)²-c²x².

∴a²=c²a=c或a=-c,但a=c不合题意，故a=-c.这时f(x)=log₃在［1，+∞）上是增函数，且最大值是1.

设u(x)=在［1,+∞］上是增函数，且最大值是3.

∵u′(x)=

==,

当x＞1时x²-1＞0u′(x)＞0,

故c＞0;又当x＜-1时，u′(x)＞0;

当x∈(-1,1)时，u′(x)＜0.

所以u(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上是增函数，在（-1，1）上是减函数.

∵x＞1,x²-cx+1＜x²+cx+1,u(x)＜1,

∴x=-1时u(x)最大值为3.

∴=3,c=1,a=-1.

经验证：a=-1,b=1,c=1时，f(x)符合题设条件，所以存在满足条件的a、b、c，

即a=-1,b=1,c=1.