Question

7．若关于x的不等式$\frac{（k-1）{x}^{2}+（k-1）x+2}{{x}^{2}-x+1}$＞0的解集是R，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 先判断分母恒为正，将不等式进行转化，结合一元二次不等式的性质进行求解即可．

解答 解：∵x²-x+1＞0恒成立，
∴不等式式$\frac{（k-1）{x}^{2}+（k-1）x+2}{{x}^{2}-x+1}$＞0等价为（k-1）x²+（k-1）x+2＞0恒成立，
若k=1，则不等式等价为2＞0，满足条件．
若k≠1，则要使不等式恒成立，则满足$\left\{\begin{array}{l}{k-1＞0}\\{△=（k-1）^{2}-8（k-1）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＞1}\\{（k-1）（k-9）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k＞1}\\{1＜k＜9}\end{array}\right.$，
解得1＜k＜9，
综上1≤k＜9，
即实数k的取值范围是[1，9）．

点评 本题主要考查不等式的求解，将不等式转化为一元二次不等式是解决本题的关键．