Question

【题目】设向量 =（4cosα，sinα）， =（sinβ，4cosβ）， =（cosβ，﹣4sinβ）
（1）若 与 ﹣2 垂直，求tan（α+β）的值；
（2）若β∈（﹣ ]，求| |的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： ﹣2 =（sinβ﹣2cosβ，4cosβ+8sinβ）

∵ 与 ﹣2 垂直，

∴ （ ﹣2 ）=0，

即4cosαsinβ﹣8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin（α+β）﹣8cos（α+β），

则sin（α+β）=2cos（α+β），

即tan（α+β）=2，

（2）解：由 =（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），

则| |2=（sinβ+cosβ）2+（4cosβ﹣4sinβ）2=17﹣15sin2β，

∵β∈（﹣ ]，

∴2β∈（﹣ ， ]，

则 ＜sin2β≤1，

则2≤17﹣15sin2β＜ ，

则2≤| |2＜ ，

则 ≤| |＜

即| |的取值范围是[ ， ）

【解析】（1）根据 与 ﹣2 垂直，转化为数量积为0，结合三角函数的两角和差的公式进行转化求解即可．（2）根据向量模长的公式 进行化简，结合三角函数的有界性进行求解．
【考点精析】本题主要考查了两角和与差的正切公式的相关知识点，需要掌握两角和与差的正切公式：才能正确解答此题．