Question

设数列{a_n}满足an+1=an2-nan+1，n∈N*
（1）当a₁=2时，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想a_n的一个通项公式；
（2）当a₁＞3时，证明对所有n≥1有a_n≥n+2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式,归纳推理

专题：计算题,证明题

分析：（1）由a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，把n=1，2，3分别代入可求a₂，a₃，a₄的值，归纳数列中每一项的值与序号的关系，我们可以归纳推理出a_n的一个通项公式．
（2）a_n≥n+2的证明可以使用数学归纳法，先证明n=1时不等式成立，再假设n=k时不等式成立，进而论证n=k+1时，不等式依然成立，最终得到不等式a_n≥n+2恒成立．

解答： 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1
∴a₂=a₁²-a₁+1=3
a₃=a₂²-2a₂+1=4
a₄=a₃²-3a₃+1=5
故猜想a_n=n+1．
（2）用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁≥3=1+2，不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即a_k≥k+2，
那么a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1=2k+5≥k+3．
也就是说，当n=k+1时，a_k+1≥（k+1）+2
据①和②，对于所有n≥1，有a_n≥n+2．

点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的通项，解题的关键是由前几项归纳出数列项的规律．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．但归纳推理的结论不一定正确，我们要利用数学归纳法等方法对归纳的结论进行进一步的论证