Question

已知向量

a

=（mx²，-1），

b

=（

1

mx-1

，x）（m为常数）．
（1）若f（x）=

1

a • b

是奇函数，求m的值；
（2）若向量

a

，

b

的夹角＜

a

，

b

＞为[0，

π

2

）中的值，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先把给出的两个向量的坐标代入函数解析式，化简后运用奇函数的定义即可求解使函数f（x）为奇函数的实数m的值；
（2）根据两向量

a

，

b

的夹角为[0，

π

2

）中的值，所以两向量的数量积一定为正值，写出两个向量的数量积，根据数量积大于0，分类讨论求解实数x的取值范围．

解答：解：（1）由题意知

a

•

b

=

mx2

mx-1

-x=

x

mx-1

，
所以f(x)=

mx-1

x

=m-

1

x

．由题知对任意的不为零的实数x，都有f（-x）=-f（x），
即m+

1

x

=-m+

1

x

成立，所以m=0．
（2）由题意知

a

•

b

＞0，所以

x

mx-1

＞0，即x（mx-1）＞0．
①当m=0时，x＜0；
②当m＞0时，（x-

1

m

）x＞0，所以x＜0或x＞

1

m

；
③当m＜0时，（x-

1

m

）x＜0，所以

1

m

＜x＜0．
综上，当m=0时，实数x的取值范围是x＜0；当m＞0时，实数x的取值范围是x＜0或x＞

1

m

；
当m＜0时，实数x的取值范围是

1

m

＜x＜0．

点评：本题考查了平面向量数量积的坐标表示，模、夹角，考查了函数的奇偶性，考查了分类讨论的数学思想及数学转化思想，解答此题的关键是正确写出两个向量的数量积．