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已知向量
a
=(mx2,-1),
b
=(
1
mx-1
,x)(m为常数).
(1)若f(x)=
1
a
b
是奇函数,求m的值;
(2)若向量
a
b
的夹角<
a
b
>为[0,
π
2
)中的值,求实数x的取值范围.
分析:(1)首先把给出的两个向量的坐标代入函数解析式,化简后运用奇函数的定义即可求解使函数f(x)为奇函数的实数m的值;
(2)根据两向量
a
b
的夹角为[0,
π
2
)中的值,所以两向量的数量积一定为正值,写出两个向量的数量积,根据数量积大于0,分类讨论求解实数x的取值范围.
解答:解:(1)由题意知
a
b
=
mx2
mx-1
-x=
x
mx-1

所以f(x)=
mx-1
x
=m-
1
x
.由题知对任意的不为零的实数x,都有f(-x)=-f(x),
m+
1
x
=-m+
1
x
成立,所以m=0.
(2)由题意知
a
b
>0
,所以
x
mx-1
>0
,即x(mx-1)>0.
①当m=0时,x<0;
②当m>0时,(x-
1
m
)x>0,所以x<0或x>
1
m

③当m<0时,(x-
1
m
)x<0,所以
1
m
<x<0.
综上,当m=0时,实数x的取值范围是x<0;当m>0时,实数x的取值范围是x<0或x>
1
m

当m<0时,实数x的取值范围是
1
m
<x<0.
点评:本题考查了平面向量数量积的坐标表示,模、夹角,考查了函数的奇偶性,考查了分类讨论的数学思想及数学转化思想,解答此题的关键是正确写出两个向量的数量积.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(x2-3,1),
b
=(x,-y)
,(其中实数y和x不同时为零),当|x|<2时,有
a
b
,当|x|≥2时,
a
b

(1)求函数式y=f(x);
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)若对?x∈(-∞,-2]∪[2,+∞),都有mx2+x-3m≥0,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(mx2,-1),
b
=(
1
mx-1
,x)
(m为常数),且
a
b
不共线,若向量
a
b
的夹角为锐角,求实数x的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(x2-3,1),
b
=(x,-y)(其中实数x和y不同时为零),当|x|<2时,有
a
b
,当|x|≥2时,
a
b

(I)求函数式y=f(x);
(II)若对?x∈(-∞,-2}∪[2,+∞),都有mx2+x-3m≥0,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:惠州模拟 题型:解答题

已知向量
a
=(x2-3,1),
b
=(x,-y)
,(其中实数y和x不同时为零),当|x|<2时,有
a
b
,当|x|≥2时,
a
b

(1)求函数式y=f(x);
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)若对?x∈(-∞,-2]∪[2,+∞),都有mx2+x-3m≥0,求实数m的取值范围.

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