Question

【题目】已知两个集合A，B，满足BA．若对任意的x∈A，存在ai，aj∈B（i≠j），

使得x=λ1ai+λ2aj（λ1，λ2∈{﹣1，0，1}），则称B为A的一个基集．若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其基集B元素个数的最小值是__

Answer 1

【答案】4

【解析】

设B中元素a1<a2<…<an,且ai≤aj,

则1·ai+0·aj有n种,1·ai+1·aj有n种,1·ai-1·aj有种,-1·ai+1·aj有种,

∴n+n++≥10,∴n2+n≥10,∴n≥3, n=3时,共12种,最多不符合题意两种,

设B={a1,a2,a3},a1<a2<a3,则2a3≥10,2a2≤10,

∴a3≥5,a2≤5. a3=5时,a3+a2=9,

∴a2=4,a3+a1=7或a2+a1=7,∴a1=2或3,∴B={5,4,3}(舍),B={5,4,2}(舍);

a3=6时,若a2=5,则a3+a1=7或a2+a1=7,

∴a1=1或2,B={6,5,2}(舍),B={6,5,1}(舍),

若a2=4,则a1+a3=9,∴B={6,4,3}(舍);

a3=7时,a1+a3≤10,a1≤3,a1=3时,3<a2≤5无法构成9,a1=2时,a2+a3=10或2a2=10,

∴a2=3或5,B={7,5,2}(舍),B={7,3,2}(舍).

a1=1时,a2+a3=10或2a2=10,a2=3或5,B={7,5,1}(舍),B={7,3,1}(舍);

a3=8时,a1+a8≤10,∴a1=1或2,a1=1时,a2+a3=10或2a2=10,

∴a2=2或5,B={8,5,1}(舍),B={8,2,1}(舍),

a1=2时,2<a1<5,无法构成9;a3=9时,a1=1,1<a2≤5,无法构成7;

a3=10时,2a3>10,a3+a2>10,a3+a1>10,不是10个数.

∴n=3时不成立.n=4时,B={9,6,4,1}或B={9,7,4,1}或B={8,5,2,1},合理即可.