Question

已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=cos3x，h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）的单调递增区间．

Answer 1

解：（1）∵T=（-）=，
∴ω==3，
∴f（x）=2sin（3x+φ）．
∵点（，2）在图象上，
∴2sin（3×+φ）=2，即sin（φ+）=1，
∴φ+=2kπ+（k∈Z），即φ=2kπ+．
故f（x）=2sin（3x+）．（6分）
（2）h（x）=2sin（3x+）cos3x
=2（sin3xcos+cos3xsin）cos3x
=（six3xcos3x+cos²3x）
=（sin6x+cos6x+1）
=sin（6x+）+．
由2kπ-≤6x+≤2kπ+（k∈Z）得函数h（x）的单调递增区间为[-，+]（k∈Z）．（12分）
分析：（1）由图可求得其周期T，继而可求得ω，再利用点（，2）在图象上可求得φ，从而可求得其解析式；
（2）利用三角函数间的关系及倍角公式，辅助角公式可求得h（x）=sin（6x+）+，利用正弦函数的单调性即可求得h（x）的单调递增区间．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数中的恒等变换应用及正弦函数的单调性，考查化归思想与综合运算能力，属于难题．