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已知函数,曲线上是否存在两点,使得△是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在轴上.如果存在,求出实数的范围;如果不存在,说明理由.

存在,且实数的取值范围是.

解析试题分析:先将斜边的中点在轴上这一条件进行转化,确定点与点之间的关系,并将是以点为直角顶点条件转化为,进行得到一个方程,然后就这个方程在定义域上是否有解对自变量的取值进行分类讨论,进而求出参数的取值范围.
试题解析:假设曲线上存在两点满足题意,则两点只能在轴两侧,
因为是以为直角顶点的直角三角形,所以
不妨设,则由的斜边的中点在轴上知,且
,所以  (*)
是否存在两点满足题意等价于方程(*)是否有解问题,
(1)当时,即都在上,则
代入方程(*),得,即,而此方程无实数解;
(2)当时,即上,上,
,代入方程(*)得,,即
,则
再设,则,所以上恒成立,
上单调递增,,从而,故上也单调递增,
所以,即,解得
即当时,方程有解,即方程(*)有解,
所以曲线上总存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形,
且此三角形斜边的中点在轴上,此时.
考点:1.平面向量垂直;2.函数的零点

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