已知函数,曲线上是否存在两点,使得△是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在轴上.如果存在,求出实数的范围;如果不存在,说明理由.
存在,且实数的取值范围是.
解析试题分析:先将斜边的中点在轴上这一条件进行转化,确定点与点之间的关系,并将是以点为直角顶点条件转化为,进行得到一个方程,然后就这个方程在定义域上是否有解对自变量的取值进行分类讨论,进而求出参数的取值范围.
试题解析:假设曲线上存在两点、满足题意,则、两点只能在轴两侧,
因为是以为直角顶点的直角三角形,所以,
不妨设,则由的斜边的中点在轴上知,且,
由,所以 (*)
是否存在两点、满足题意等价于方程(*)是否有解问题,
(1)当时,即、都在上,则,
代入方程(*),得,即,而此方程无实数解;
(2)当时,即在上,在上,
则,代入方程(*)得,,即,
设,则,
再设,则,所以在上恒成立,
在上单调递增,,从而,故在上也单调递增,
所以,即,解得,
即当时,方程有解,即方程(*)有解,
所以曲线上总存在两点、,使得是以为直角顶点的直角三角形,
且此三角形斜边的中点在轴上,此时.
考点:1.平面向量垂直;2.函数的零点
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向量m=(cos,sin),n=(cos,sin),且满足|m+n|=.
(1)求角A的大小;
(2)若||+||=||,试判断△ABC的形状.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
平面直角坐标系中,为原点,射线与轴正半轴重合,射线是第一象限角平分线.在上有点列,,在上有点列,,.已知,,.
(1)求点的坐标;
(2)求的坐标;
(3)求面积的最大值,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知点,曲线上的动点满足,定点,由曲线外一点向曲线引切线,切点为,且满足.
(1)求线段长的最小值;
(2)若以为圆心所作的圆与曲线有公共点,试求半径取最小值时圆的标准方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知是中心在坐标原点的椭圆的一个焦点,且椭圆的离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设:、为椭圆上不同的点,直线的斜率为;是满足()的点,且直线的斜率为.
①求的值;
②若的坐标为,求实数的取值范围.
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