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已知点,曲线上的动点满足,定点,由曲线外一点向曲线引切线,切点为,且满足.

(1)求线段长的最小值;
(2)若以为圆心所作的圆与曲线有公共点,试求半径取最小值时圆的标准方程.

(1);(2).

解析试题分析:本题主要考查圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的点乘、平面内两点间距离公式等基础知识.考查数形结合的数学思想.考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,利用向量的点乘求出点的轨迹方程,数形结合找出,所以,然后配方法求最值;第二问,利用两圆的位置关系列出不等式,用配方法求最值,得到圆心和半径,写出圆的标准方程.
试题解析:(Ⅰ)设,则

点轨迹(曲线)方程为,即曲线.     2分
为切点,,由勾股定理有:
又由已知,故
即:
化简得实数间满足的等量关系为:,即.(4分)

故当时,即线段长的最小值为     7分
(另法)由点在直线上.
,即求点到直线的距离.
(7分)
(Ⅱ)设的半径为,∵有公共点,的半径为1,
.    8分
,       9分
故当时,.      10分
此时,.    11分
得半径取最小值时的标准方程为.    13分
(另法)有公共点,半径最小时为与外切(取小者)的情形,而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去1,圆心为过原点与垂直的直线

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