【题目】已知函数,,.
(1)求函数的单调区间;
(2)若恒成立,求的最小值.
【答案】(1)分类讨论,见解析(2)见解析
【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论的范围,求出函数的单调区间即可;
(2)设,求出函数的导数,根据函数的单调性求出的最小值,从而确定的最小值即可.
解:(1)函数定义域为.
,由,或,
①当时,,,在上为增函数,
,,在上为减函数,
,,在上为增函数.
②当时,,,在上为增函数,
,,在上为增函数.
③当时,,,在上为减函数,
时,,在上为增函数.
(2),设则
,
因为,令,得.
设,由于在上单递增,
当时,;当时,,
所以存在唯一,使得,即.
当时,,所以在上单调递减;
当时,,所以在上单调递增.
当时,
,
因为恒成立,
当时,,所以在上单调递减;
当时,,所以在上单调递增.
当时,.
所以当,即,时,.
所以,即.
.
设,,
则.
令,解得:,
故在递减,在递增,
故,
故即,时,.
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【题目】如图,在四棱锥中,⊥底面,⊥,∥,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(1)证明:BE⊥DC;
(2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.
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【题目】过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点.若线段的中点为,为坐标原点,则与的大小关系是( )
A. B.
C. D. 无法确定
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【题目】暑假期间,某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营,推出如下收费标准:若夏令营人数不超过30,则每位同学需交费用600元;若夏令营人数超过30,则营员每多1人,每人交费额减少10元(即:营员31人时,每人交费590元,营员32人时,每人交费580元,以此类推),直到达到满额70人为止.
(1)写出夏令营每位同学需交费用(单位:元)与夏令营人数之间的函数关系式;
(2)当夏令营人数为多少时,旅行社可以获得最大收入?最大收入是多少?
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【题目】如图,PQ为某公园的一条道路,一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切,记其圆心为O,切点为G.为参观方便,现新修建两条道路CA、CB,分别与圆O相切于D、E两点,同时与PQ分别交于A、B两点,其中C、O、G三点共线且满足CA=CB,记道路CA、CB长之和为.
(1)①设∠ACO=,求出关于的函数关系式;②设AB=2x米,求出关于x的函数关系式.
(2)若新建道路每米造价一定,请选择(1)中的一个函数关系式,研究并确定如何设计使得新建道路造价最少.
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【题目】已知函数是偶函数.
(1)求实数的值;
(2)当时,函数存在零点,求实数的取值范围;
(3)设函数,若函数与的图像只有一个公共点,求实数的取值范围.
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