Question

【题目】如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且

为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

(1)求解线面平行，根据题意，连接相应的中位线，根据中位线的关系可得，四边形是平行四边形.

(2) 设的中点为， 可证两两垂直，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，然后求出平面的法向量，最后利用向量的内积关系即可求解出直线与平面所成角的正弦值.

（1）设的中点为，连接，

为的中点，所以为的中位线，

则可得，且；

在梯形中，，且，

，

所以四边形是平行四边形，

，又平面，平面，

平面．

法二：设为的中点，连接，

为的中点，

所以是的中位线，所以，

又平面，平面，

平面，

又在梯形中，，且，

所以四边形是平行四边形，

，

又平面，平面，

平面，

又，

所以平面平面，

又平面，

平面．

（2）设的中点为，又．

因为平面平面，交线为，平面，

平面，

又由，，

．

即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系．

已知点，

设平面的法向量为：．

则有 ，可得平面的一个法向量为，

，

可得：，

所以直线与平面所成角的正弦值为．