Question

已知函数f（x）=sinx-

3

cosx在点A处的切线为l₁，函数g（x）=

1

2

x²+lnx在点B处的切线为l₂．若l₁∥l₂，则|

OA

•

OB

|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：导数的概念及应用,平面向量及应用

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₂＞0，求导数结合三角函数的值域和基本不等式可得两直线的斜率k₁=k₂=2，并可得此时x₂=1，x₁=2kπ+

π

3

，k∈Z，而|

OA

•

OB

|=|x₁•x₂+y₁•y₂|，代入数据可得答案．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₂＞0，
∵f（x）=sinx-

3

cosx，∴f′（x）=cosx+

3

sinx，
∴切线为l₁的斜率k₁=f′（x₁）=cosx₁+

3

sinx₁=2sin（x₁+

π

6

）≤2；
同理可得切线为l₂的斜率k₂=g′（x₂）=x₂+

1

x2

≥2，
又l₁∥l₂，∴k₁=k₂=2，此时x₂=1，x₁+

π

6

=2kπ+

π

2

，
解得x₁=2kπ+

π

3

，k∈Z，
∴y₁=f（x₁）=sinx₁-

3

cosx₁=0
∴|

OA

•

OB

|=|x₁•x₂+y₁•y₂|=|2kπ+

π

3

+0|=|2kπ+

π

3

|
∴当k=0时，上式取到最小值

π

3

故答案为：

π

3

．

点评：本题考查平面向量数量积的最值，涉及导数和切线以及基本不等式的应用，属中档题．