Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，H分别是棱A₁B₁，D₁C₁上的点（点E与B₁不重合），且EH∥A₁D₁，过EH的平面与棱BB₁，CC₁相交，交点分别为F，G．设AB=2AA₁=2a．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内随机选取一点，记该点取自于几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为P，当点E，F分别在棱A₁B₁，BB₁上运动且满足EF=a时，则P的最小值为（　　）

• A、

  11

  16

• B、

  3

  4

• C、

  13

  16

• D、

  7

  8

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：根据几何槪型的概率公式，结合基本不等式求出取自于几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为P的最小值，即可求出概率．

解答： 解：根据几何槪型的概率公式可知，点取自于几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为P=

VA1ABFE-D1DCGH

VABCD-A1B1C1D1

，
∴若P的最小，则只需几何体A₁ABFE-D₁DCGH的体积最小，即五边形A₁ABFE的面积最小，等价为三角形EFB₁的面积最大，
∵EF=a，
∴B1E2+B1F2=a2，
则S △B1EF=

1

2

B1E•B1F≤

1

4

（B₁E²+B₁F²）=

a2

4

，当且仅当B₁F=B₁E时取等号，
此时五边形A₁ABFE的面积最小为2a²-

1

4

a²=

7a2

4

，
则取自于几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为P=

VA1ABFE-D1DCGH

VABCD-A1B1C1D1

=

7 4 a2

2a2

=

7

8

，
故选：D．

点评：本题主要考查几何槪型的概率计算，根据体积槪型结合基本不等式求出最值是解决本题的关键．