Question

定义在（0，π）上的函数f（x）满足f′（x）•sinx＜f（x）•cosx，则下列不等式正确的是（　　）

• A、f（

  π

  3

  ）＜

  3

  •f（

  π

  6

  ）
• B、

  1

  2

  •f（

  1

  2

  ）＜sin

  1

  2

  •f（

  π

  6

  ）
• C、sin2•f（1）＜sin1•f（2）
• D、sin1•f（

  1

  2

  ）＜sin

  1

  2

  •f（1）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：观察所给选项的形式，构造函数g（x）=

f(x)

sinx

，求出g′（x），判断其单调性，从而确定选项的正误．

解答： 解：设g（x）=

f(x)

sinx

，则g′（x）=

f′(x)•sinx-f(x)•cosx

(sinx)2

＜0，
即g（x）在（0，π）上是减函数，
∴g(

π

3

)＜g(

π

6

)，
即

f( π 3 )

sin π 3

＜

f( π 6 )

sin π 6

，化简得，f（

π

3

）＜

3

•f（

π

6

），故A选项正确．
B选项中，由g(

1

2

)＞g(

π

6

)，化简得

1

2

•f（

1

2

）＞sin

1

2

•f（

π

6

），故B选项错误．
C选项中，由g（1）＞g（2），化简得sin2•f（1）＞sin1•f（2），故C选项错误．
D选项中，由g(

1

2

)＞g(1)，化简得sin1•f(

1

2

)＞sin

1

2

•f(1)，故D选项错误．
故答案选：A．

点评：本题的解题关键在于构造出函数g（x）=

f(x)

sinx

，通过求导的方式研究其单调性，从而解决相关问题．学生在做选择题时，根据题型的特征，有时可以由选项给出解题思路，本题就是一个典型的例子，由选项的格式构造出函数g（x），从而进一步答题．