练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知a，b，c是非零实数，且a2+b2+c2=1．
    （1）证明：
    1
    a2
    +
    4
    b2
    +
    9
    c2
    ≥36    ；
    （2）若不等式
    1
    a2
    +
    4
    b2
    +
    9
    c2
    ≥|m|+|m-2|    对一切a，b，c恒成立，求实数m的取值范围．
    考点：不等式的证明,基本不等式
    专题：选作题,不等式
    分析：（1）由柯西不等式可得（
    1
    a2
    +
    4
    b2
    +
    9
    c2
    ）（a2+b2+c2）≥（1+2+3）2，即可证明结论；
    （2）利用（1）的结论，可得|m|+|m-2|≤36，即可求实数m的取值范围．
    解答： （1）证明：由柯西不等式可得（
    1
    a2
    +
    4
    b2
    +
    9
    c2
    ）（a2+b2+c2）≥（1+2+3）2，
    ∴
    1
    a2
    +
    4
    b2
    +
    9
    c2
    ≥
    36
    a2+b2+c2
    ，
    ∵a2+b2+c2=1，
    ∴
    1
    a2
    +
    4
    b2
    +
    9
    c2
    ≥36    ；
    （2）解：∵不等式
    1
    a2
    +
    4
    b2
    +
    9
    c2
    ≥|m|+|m-2|    对一切a，b，c恒成立，
    ∴由（1）可得|m|+|m-2|≤36，
    ∴m＜0时，-m-m+2≤36，∴m≥-17，∴-17≤m＜0；
    0≤m≤2时，m-m+2≤36恒成立；
    m＞2时，m+m-2≤36，∴m≤19，∴2＜m≤19，
    综上，-17≤m≤19．
    点评：本题考查不等式的证明，考查柯西不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义在（0，π）上的函数f（x）满足f′（x）•sinx＜f（x）•cosx，则下列不等式正确的是（　　）
    A、f（
    π
    3
    ）＜
    		3
    •f（
    π
    6
    ）
    B、
    1
    2
    •f（
    1
    2
    ）＜sin
    1
    2
    •f（
    π
    6
    ）
    C、sin2•f（1）＜sin1•f（2）
    D、sin1•f（
    1
    2
    ）＜sin
    1
    2
    •f（1）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜
    π
    2
    ）在区间[-
    π
    6
    ，
    π
    3
    ]上的图象如图所示．
    （1）求ω，φ的值；
    （2）设x∈[0，
    5π
    12
    ]，不等式|4f（x）-1|＜m恒成立，求实数m的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知直线l：y=3x+3，求：
    （1）过点A（3，2）且与直线l平行的直线方程m；
    （2）点B（4，5）关于直线l的对称点．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知m∈N+，函数f（x）=（2m-m2）x2m2+3m-2在（0，+∞）上是增函数，若g（x）=p[f（x）] 
    4
    3
    +（4p-3）[f（x）] 
    2
    3
    ，问是否存在p（p＞0）使g（x）在[0，2]上是减函数，且在[2，+∞]上是增函数？

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求AB的长度以及点A到直线BC的距离．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：
    4
    a
    +
    1
    b
    ≥9．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}的各项均大于1，前n项和Sn满足2Sn=
    a
    2
    n
    +n-1    ．
    （Ⅰ）求a1及数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）记bn=
    1
    a
    2
    n
    -1
    ，求证：b1+b2+…+bn＜
    3
    4
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知α为锐角，且sinα=
    4
    5
    ，求sin（α+
    π
    3
    ）和tan2α的值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案