Question

已知m∈N₊，函数f（x）=（2m-m²）x^2m2+3m-2在（0，+∞）上是增函数，若g（x）=p[f（x）] 

4

3

+（4p-3）[f（x）] 

2

3

，问是否存在p（p＞0）使g（x）在[0，2]上是减函数，且在[2，+∞]上是增函数？

Answer 1

考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得

2m-m2＞0 2m2+3m-2＞0

，或

2m-m2＜0 2m2+3m-2＜0

，再结合m∈N₊，解①求得m=1，可得f（x）=x³．结合g（x）=p•x⁴+（4p-3）x² 的单调性可得-

4p-3

2p

=4，求得p=

1

4

，从而得出结论．

解答： 解：∵函数f（x）=（2m-m²）x^2m2+3m-2在（0，+∞）上是增函数，
∴

2m-m2＞0 2m2+3m-2＞0

 ①，或

2m-m2＜0 2m2+3m-2＜0

②．
再结合m∈N₊，解①求得m=1，解②求得m∈∅．
综上可得，m=1，f（x）=x³．
∵g（x）=p[f（x）] 

4

3

+（4p-3）[f（x）] 

2

3

=p•x⁴+（4p-3）x² 在[0，2]上是减函数，
且在[2，+∞]上是增函数，
则有-

4p-3

2p

=4，求得p=

1

4

，
故存在p=

1

4

满足题中条件．

点评：本题主要考查幂函数的性质、二次函数的性质的应用，属于基础题．