Question

利用函数的单调性定义证明函f(x)=

x

x-1

，x∈[2，4]是单调递减函数，并求函数的值域．

Answer 1

分析：根据单调性的定义可知在[2，4]上任x₁，x₂．x₁＜x₂，然后利用作差法比较f（x₁）与f（x₂）的大小，从而可证得单调性，从而可求出函数的值域．

解答：证明：在[2，4]上任x₁，x₂．x₁＜x₂，f（x₁）=

x1

x1-1

，f（x₂）=

x2

x2-1

∴f(x1)-f(x2)=

x1

x1-1

-

x2

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

∵2≤x₁＜x₂≤4，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）是在[2，4]上的减函数
当x=2时函数取最大值2，当x=4时函数取最小值

4

3

 因此，函数的值域[

4

3

，2]．

点评：本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及利用函数单调性求函数值域，属于基础题．