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    利用函数的单调性定义证明函数f(x)=ax2＋bx+c(a＞0)在区间(-∞,-)上是减函数.

    思路解析:证明的关键是作差后分解因式,并正确地利用区间(-∞,-］确定其符号.

    证明:在(-∞,-］上任意选取x1,x2,且x1＜x2,

    则f(x1)=ax12+bx1+c,f(x2)=ax22+bx2+c.

    ∴f(x1)-f(x2)=ax12+bx1+c-(ax22+bx2+c)=a(x12-x22)+b(x1-x2)=(x1-x2)［a(x1+x2)+b］=a(x1-x2)［(x1+x2)+］.

    ∵-∞＜x1＜x2≤-,

    ∴x1-x2＜0,-∞＜x1+x2＜-.

    ∴x1+x2+＜0.

    又∵a＞0,∴a(x1-x2)［(x1+x2)+ ］＞0,即f(x1)＞f(x2).

    ∴函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在区间(-∞,- )上是减函数.

    深化升华

    在利用函数单调性的定量化定义证明函数的单调性时,要特别注意所给区间在证明过程中所发挥的作用.对于同一个函数所给区间的不同则可能有不同的单调性.甚至没有单调性.在例题2中正因为利用了-∞＜x1＜x2≤-,才说明了x1+x2+的符号,进而说明了a(x1-x2)［(x1+x2)+ ］的符号.

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