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    利用函数的单调性定义研究函数f(x)=在定义域内的单调性.

    思路解析:首先确定定义域;再在R上任取x1,x2,且x1＜x2;再作差f(x1)-f(x2);再对差式进行分子有理化的变形,其关键是分子有理化的变形.

    解:∵定义域是x≥-1,∴任意选取x1、x2,使-1≤x1＜x2,则f(x1)= ,f(x2)=.

    ∴f(x1)-f(x2)= -=.

    ∵-1≤x1＜x2,∴x1-x2＜0.∴＜0,即f(x1)＜f(x2).

    ∴函数f(x)=在定义域内是增函数.

    深化升华

    (1)在利用函数单调性的定量化定义证明函数的单调性时,变形和定号是关键的两步.变形的目的不是化简而是为了定号,应该变形到非常容易说明差的符号的形式为止,变形不充分不到位,则不易定号.

    (2)为了达到定号的目的,注意一些变形的常用的技巧,像通分、分解因式、分子有理化等.

    方法归纳

    利用函数定量化的严格定义,证明函数的单调性是我们研究函数单调性的一种重要方法,在证明的过程中,选取自变量的两个一大一小值后,比较这两个自变量的值所对应的函数值的大小是证明的关键,其中“作差”比较大小是我们的一个常用方法.利用单调性的定量定义证明函数单调性的步骤是:

    ①任取→②作差→③变形→④定号.

    利于定义研究有理函数单调性时,经常的变形方法是通分,分解因式；对无理函数经常的变形方法是分子或分母有理化.

    练习册系列答案
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