Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，

an+1-an

an

=n，n∈N^*，设数列{

n

an+1

}的前n项和为S_n，则S_n的取值范围是（　　）

• A、（0，1）
• B、[

  1

  2

  ，1）
• C、[

  1

  2

  ，+∞）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由

an+1-an

an

=n，n∈N^*，可得a_n+1=（n+1）a_n，

an+1

an

=n+1．利用“累乘求积”可得a_n=n!．可得

n

an+1

=

n

(n+1)!

=

1

n!

-

1

(n+1)!

，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：∵

an+1-an

an

=n，n∈N^*，
∴a_n+1=（n+1）a_n，
∵a₁=1，
∴a₂=2，

an+1

an

=n+1．
∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

•a₁=n!．
∴

n

an+1

=

n

(n+1)!

=

1

n!

-

1

(n+1)!

，
∴S_n=

1

a2

+

2

a3

+…+

n

an+1

=

1

2!

+

2

3!

+

3

4!

+…+

n

(n+1)!

＜(

1

1！

-

1

2！

)+(

1

2！

-

1

3！

)+…+(

1

n！

-

1

(n+1)!

)=1-

1

(n+1)!

＜1．
又数列{

n

an+1

}的前n项和为S_n≥

1

a2

=

1

2

．

1

2

≤Sn＜1．
故选：B．

点评：本题考查了“累乘求积”、“裂项求和”、放缩法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．