Question

若圆C过点（0，1）且与直线l：y=-1相切，设圆心C的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）记F（0，1），是否存在正数m，对于过点M（0，M）且与曲线E有两个交点A、B的任一直线，都有

FA

•

FB

＜0，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算

专题：向量与圆锥曲线

分析：（Ⅰ）由点C到定点M的距离等于到定直线l的距离与抛物线的定义可得点C的轨迹为抛物线所以曲线E的方程为x²=4y；
（Ⅱ）首先由于过点M（0，m）的直线与开口向上的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为y=kx+m，然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现

FA

•

FB

＜0的等价转化；最后通过m、k的不等式求解m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为x²=4y；
（Ⅱ）设过点M（0，m）（m＞0）的直线l与曲线E的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设l的方程为y=kx+m，由

y=kx+m x2=4y

，得x²-4kx-4m=0，
于是x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m  ①
又

FA

=（x₁，y₁-1），

FB

=（x₂，y₂-1）．
则

FA

•

FB

＜0?x₁•x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂-（y₁+y₂）+1+y₁y₂＜0  ②
又y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，于是不等式②等价于(k2+1)x1x2+k(m-1)(x1+x2)+m2-2m+1＜0  ③
由①式，不等式③等价于m²-6m+1-4k²＜0  ④
要使④成立，则m²-6m+1＜4k²，
∵4k²≥0，
若使该式对任意实数k都成立，则m²-6m+1＜0，
解得：3-2

2

＜m＜3+2

2

．

点评：本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力，是中档题．