Question

若F（c，0）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为

12a2

7

，则该双曲线的离心率e=（　　）

• A、

  5

  3

• B、

  4

  3

• C、

  5

  4

• D、

  8

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tanθ=tan∠AOB，求出F到渐近线y=

b

a

x的距离为b，即有|OB|=a，△OAB的面积可以表示为

1

2

•a•atanθ，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为y=±

b

a

x，
设两条渐近线的夹角为θ，
则tanθ=tan∠AOB=

b a -(- b a )

1+ b a •(- b a )

=

2ab

a2-b2

，
设FB⊥OB，则F到渐近线y=

b

a

x的距离为d=

|bc|

a2+b2

=b，
即有|OB|=

c2-b2

=a，
则△OAB的面积可以表示为

1

2

•a•atanθ=

a3b

a2-b2

=

12a2

7

，
解得

b

a

=

3

4

，
则e=

c

a

=

a2+b2 a2

=

1+ b2 a2

=

5

4

．
故选C．

点评：本题主要考查双曲线的几何性质，结合着较大的运算量，属于中档题．