Question

已知等比数列{a_n}中，a2=

1

3

，公比q=

1

3

，设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n．
（1）求数列b_n的通项公式；
（2）若c_n=

1

bn+1

求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）先由等比数列{a_n}中，a2=

1

3

，公比q=

1

3

，求出a₁及数列{a_n}的通项公式，再利用对数的运算法则得出数列{b_n}的通项公式；
（2）由（1）c_n=

1

bn+1

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

），裂项后计算化简即可．

解答：解：（1）∵a2=

1

3

，公比q=

1

3

，∴a₁=1，数列{a_n}的通项公式为a_n=（

1

3

）^n-1=3^1-n，
∴log₃a_n=1-n，
b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-（1+2+…+n-1）=-

n(n-1)

2

，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=-

n(n-1)

2

．
（2）c_n=

1

bn+1

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

），
∴数列{c_n}的前n项和．Tn=c1+c2+…+cn
=-2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=-2（1-

1

n+1

）
=-

2n

n+1

点评：本题考查数列通项公式求解，等差数列求和计算，裂项法求和．属于基础题．