Question

已知非零向量

a

，

b

，

c

满足

a

+

b

+

c

=0，且

a

与

c

的夹角为60°，|

b

|=

3

|

a

|，则

a

与

b

的夹角为（　　）

• A、30°
• B、150°
• C、60°
• D、120°

Answer 1

分析：由于

a

+

b

+

c

=

0

，可得-

b

=

a

+

c

，由数量积的运算性质可得

b

2=

a

2+

c

2+2

a

•

c

，又

a

与

c

的夹角为60°，|

b

|=

3

|

a

|，
于是3|

a

|2=|

a

|2+|

c

|2+2|

a

| |

c

|cso60°，可得|

a

|=|

c

|．另一方面由-

b

=

a

+

c

，可得-

a

•

b

=

a

2+

a

•

c

，即可得出．

解答：解：∵

a

+

b

+

c

=

0

，
∴-

b

=

a

+

c

，
∴

b

2=

a

2+

c

2+2

a

•

c

，
又

a

与

c

的夹角为60°，|

b

|=

3

|

a

|，
∴3|

a

|2=|

a

|2+|

c

|2+2|

a

| |

c

|cso60°，
化为2|

a

|2-|

a

| |

c

|-|

c

|2=0，即(2|

a

|+|

c

|)(|

a

|-|

c

|)=0，
解得|

a

|=|

c

|．
由-

b

=

a

+

c

，可得-

a

•

b

=

a

2+

a

•

c

，
∴-|

a

| |

b

|cos＜

a

，

b

＞=|

a

|2+|

a

| |

c

|cos60°，
∴-

3

|

a

|2cos＜

a

，

b

＞=|

a

|2+

1

2

|

a

|2，
∵|

a

|≠0，∴cos＜

a

，

b

＞=-

3

2

．
∴＜

a

，

b

＞=150°．
故选：B．

点评：本题考查了向量的数量积运算及其性质、夹角公式，属于中档题．