Question

已知函数f(x)=ax+b，当x∈［a₁，b₁］时，值域为［a₂，b₂］，当x∈［a₂，b₂］时，值域为［a₃，b₃］，…，当x∈［a_n-1，b_n-1］时，值域为［a_n，b_n］，….其中a、b为常数，a₁=0，b₁=1.

(1)若a=1，求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；

(2)若a＞0，a≠1，要使数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值；

(3)若a＞0，设数列{a_n}与{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，求(T₁+T₂+…+T_{2 007})-(S₁+S₂+…+S_{2 007})的值.

Answer 1

解：(1)∵a=1＞0，∴f(x)=ax+b在R上为增函数，

∴a_n=a·a_n-1+b=a_n-1+b，b_n=b_n-1+b(n≥2)，

∴数列{a_n}，{b_n}都是公差为b的等差数列.

又a₁=0，b₁=1，

∴a_n=(n-1)b，b_n=1+(n-1)b(n≥2).                                            

(2)∵a＞0，b_n=ab_n-1+b，∴,                                  

由{b_n}是等比数列知为常数.

又∵{b_n}是公比不为1的等比数列，则b_n-1不为常数，

∴必有b=0.                                                            

(3)∵a＞0，a_n=a·a_n-1+b，b_n=a·b_n-1+b，两式相减得b_n-a_n=a(b_n-1-a_n-1)，

∴b_n-a_n=(b₁-a₁)·a^n-1=a^n-1，

∴T_n-S_n=(b₁-a₁)+(b₂-a₂)+…+(b_n-a_n)=

∴(T₁+T₂+…+T_{2 007})-(S₁+S₂+…+S_{2 007})

=