Question

对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数.

（Ⅰ）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？    并说明理由；

（Ⅱ）设是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式 对一切R恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值.

Answer 1

（Ⅰ）是“平底型”函数，不是“平底型”函数

        （Ⅱ）（Ⅲ）m＝1，n＝1

解析:

（1）对于函数，当时，.

当或时，恒成立，故是“平底型”函数（2分）

对于函数，当时，；当时，.

所以不存在闭区间，使当时，恒成立.

故不是“平底型”函数.                           （4分）

（Ⅱ）若对一切R恒成立，则.

因为，所以.又，则.（6分）

因为，则，解得.

故实数的范围是.                                （8分）

（Ⅲ）因为函数是区间上的“平底型”函数，则

存在区间和常数，使得恒成立.

所以恒成立，即.解得或.   （10分）

当时，.

当时，，当时，恒成立.

此时，是区间上的“平底型”函数.           （11分）

当时，.

当时，，当时，.

此时，不是区间上的“平底型”函数.           （12分）

综上分析，m＝1，n＝1为所求.                       （13分）